Álgebra lineal Ejemplos

$x + y = 6$ , $\frac{x}{y} = 2$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ \frac{1}{y} & 0 & 2 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{y} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{y} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{y} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{y} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ 0 & - \frac{1}{y} & 2 - \frac{6}{y} \end{array}]$

Paso 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- y$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- y$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ - y \cdot 0 & - y (- \frac{1}{y}) & - y (2 - \frac{6}{y}) \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Paso 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 6 - (- 2 y + 6) \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 y \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = 2 y$

$y = - 2 y + 6$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$y + 2 y = 6$

$x = 2 y$

Paso 4.1.2

Suma $y$ y $2 y$ .

$3 y = 6$

$x = 2 y$

$3 y = 6$

$x = 2 y$

Paso 4.2

Divide cada término en $3 y = 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $3 y = 6$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

Paso 5

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(2 y, 2)$

Paso 6

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ 2 \end{array}]$